Translation Invariance
Translation에 invariant 하다는 것은 입력이 바뀌어도 출력은 바뀌지 않는 것을 의미합니다. 입력 이미지가 고양이인지 아닌지 판별하는 함수 f 는 고양이의 위치가 바뀌어도 동일하게 고양이라고 판별해 줄 것입니다.
Translation Equivariance
Translation Equivariance는 입력이 바뀌면 출력도 바뀐다는 뜻입니다. 예를들어 고양이가 있는 영역에는 1을 칠하고, 아닌 영역에는 0을 칠하는 함수 f 가 있다고 합시다. 이때, 고양이의 위치를 이동시키는 S 함수를 이용하여 입력 이미지를 바꿔주었다면 출력도 동일하게 변경된 고양이의 위치에 칠해져 있을 것입니다.
Convolutional layer 자체는 아래 그림과 같이, 입력이 변경되면 그에 맞춰 출력도 변경되기 때문에 translation equivariant 합니다.
그렇다면 Convolutional layer 자체는 translation equivariant 한데, 어떻게 CNN을 사용한 네트워크들은 spatial translation invariant 할 수 있을까요? 인터넷을 많이 돌아다녔는데, 제가 아직 공부가 부족해서 이게 맞다 라는것을 정확히 이해하지 못한 것 같아서 관련 내용들을 적어보겠습니다.
Pooling: patially invariant
먼저 pooling layer 를 알 필요가 있습니다. 아래 그림은 최대값을 출력하는 max pooling layer 입니다.
‘ㄱ’ 모양의 데이터에 대한 필터를 적용했을 때, max pooling 을 거치면 왼쪽 상단의 데이터가 활성화 됩니다.
이 데이터를 한 칸씩 아래로 시프트했을 때에도, max pooling layer 를 거치면 출력에는 변화가 생기지 않습니다.
즉, 입력이 변해도 출력이 변하지 않게 되는 것입니다. Deep learning text book 에서도 이러한 내용을 찾아볼 수 있습니다. 입력값이 오른쪽으로 한 칸씩 시프트 되었으나, pooling 의 결과는 절반만 변경되었습니다. max pooling 은 주변 값들에 대해서 정확한 위치가 아닌, 최댓값에 민감하기 때문으로, 이런 특성으로 인해 부분적인 translation invariance 가 생깁니다.
FC, softmax, parameter sharing
하지만 이것만으로는 전체에 대해서 invariant 하다고 완벽하게 말하지는 못하는 것 같습니다. 구글링하다가 아래 글이 가장 설득력 있어보여서 가져왔습니다.
이런 식으로 (학습된) 모델이 있다고 했을 때, 다음과 같은 과정을 거치게 됩니다.
- 초록 블록: 이미지의 왼쪽 하단으로부터 눈, 코 등의 feature 를 탐지
- 노랑 블록: 눈, 코 등의 탐지된 feature 를 이용해서 얼굴 탐지
- FC layer: 얼굴 탐지 feature 활성화
- softmax 를 거쳐 human body 검출
여기서, 얼굴이 왼쪽 상단에 있는 경우를 살펴보면 아래와 같습니다.
위치가 바뀌었지만 결과적으로 얼굴이 탐지되면 FC layer 에서 해당 노드가 활성화되고, 그로 인해 human body 검출이 됩니다. 즉, conv layer 들을 거치는 동안 translation equivariant 하다가, 말단의 fc, softmax layer 를 거치며 invariant 한 특성을 얻게 되는 것이라고 합니다. 이에 더해, CNN 의 특성인 각 filter 의 parameter sharing 이 더해져, 위치가 달라져도 동일한 결과를 출력하는 것으로 생각됩니다.
Data augmentation
이에 더해서, cs 231n 수업에서 제출되었던 레포트 자료에도 관련 연구 내용이 있었는데, 이 레포트에 의하면 data augmentation 을 통한 파라미터 일반화가 가장 큰 영향을 끼친다고 합니다. 아래 그림은 transformation 에 대한 민감도로, model c 는 conv layer 만, model cp 는 conv+pooling, cpcp 는 (conv+pooling)*2 를 의미합니다.
Brief test
실제로 CNN 에서 pooling layer 가 얼마나 영향을 끼치는지 알아보고자 Divyanshu의 포스트를 참고했는데, 비교군이 cnn w/ w/o pooling 이 아니어서 cnn 으로 모델을 변경해서 실험을 했습니다.
MNIST dataset, zero padding, batch_size=128, epoch=5
- Model A: CNN w/o pooling
- Model B: CNN w pooling
- Model C: (CNN w/ pooling) x 2
| Models | acc: default | acc: shift min | acc: shift |
| A | 0.974 | 0.959 | 0.686 |
| B | 0.979 | 0.967 | 0.718 |
| C | 0.987 | 0.982 | 0.843 |
Pooling layer 유무로 결과의 차이가 있긴 하지만, mnist dataset 의 경우 이미지의 크기가 28x28 로, 그렇게 큰 데이터셋이 아니라서 일반화해서 결론을 내리기에는 어렵지 않나 싶긴 합니다.
동일한 세팅으로, data augmentation 에 대한 테스트도 수행해보았습니다.
MNIST dataset, zero padding, batch_size=128, epoch=5, data augmentation (width +- 10%, height +- 10%)
- Model A: CNN w/o pooling
- Model B: CNN w pooling
- Model C: (CNN w/ pooling) x 2
| Models | acc: default | acc: shift min | acc: shift |
| A | 0.968 | 0.974 | 0.950 |
| B | 0.980 | 0.982 | 0.966 |
| C | 0.989 | 0.989 | 0.983 |
확실히 data augmentation 으로 성능이 좋아진 것으로 보이긴 합니다.
What is wrong with convolutional neural nets? by Geoffrey Hinton
극단적인 예시이긴 하지만, translation invariance 의 문제점으로 꼽히는 그림입니다. CNN 이 얼굴의 부분적인 특징을 잡기 때문에, 오른쪽 그림도 결과적으로 얼굴이라고 인식해버리는 것입니다. Hinton 은 이러한 문제를 해결하고자 캡슐 네트워크를 제안했습니다.
References
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